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割当問題という問題をご存知でしょうか?

$n$ 人に $n$ 個の仕事を割り当てるとき、最も効率の良い割り当て方は何かを考える問題を「割当問題」といいます。

行列で考えるとわかりやすいです。下記の行列の行が人、列が仕事を表し、各成分は各人がそれぞれの仕事を終えるのにかかるコストととらえます。

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各仕事に人は1人しか割り当てることができない状態で、全ての仕事に人を割り当てるとき、一番低コストな組み合わせを考えます。

このような問題を考える上で有名なアルゴリズムに「ハンガリアン法」(ハンガリー法)というものがあります。

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step1 $0$ を各行各列から1つずつ選ぶことができるかどうか判定する。もし選ぶことができれば、その $0$ の座標の組みが割当案となる。選ぶことができなれければstep3へ。

step3
全ての $0$ をできるだけ少ない数の縦または横の線で覆う。

step4
線で消されていない要素から、それらの最小値を引き、縦横の線が交わる要素にその値を加える。step2に戻る。

上の表を実際にハンガリアン法の各stepを適用すると以下のようになります。

step1
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step2
$0$ を各行各列から1つずつ選ぶことができないのでstep3へ

step3
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step4

step2 [$(1,1), (2,4), (3,3), (4,2)$]
[$(1,2), (2,4), (3,3), (4,1)$]

上記の手順の注意として、
・step1は先に列から引いてもよい(その場合、次のstep2で割当案がいきなり求まる) などと、やり方によってすぐ求まったり、求められなかったりします。

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本当にこのハンガリアン法で見つかる割当案が常に最適解なのかどうかの数学的証明は置いといて、今回はこのアルゴリズムをpythonで実装してみました。 pipでインストールできます。

pip install munkres

実際に使ってみます。

from munkres import Munkres
m = Munkres()
m.compute(mat)
# output
# [(0, 0), (1, 3), (2, 2), (3, 1)]

一撃でした。

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